1
人教A版（新教材）数学第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）同步测试
一、
若非空数集G满足“对于
a，b
G，都有 a+b，a-b，ab∈G，且当b≠0时， 
∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题:
①0是任何 “理想数集”的元素;
②若“理想数集”M有非零元素，则N*
M
③集合P={x|x=2k,k∈Z}是一个“理想数集”;
④集合T={x|x=a+
b,a,b∈Z}是“理想数集”
其中真命题的个数是( )
A.
B.
2
C.
3
D.
4
我要多选
作答：
答对了
答错了
二、多选题
正数x，y满足
1、
求xy的最小值
2、
求x+2y的最小值
我要多选
作答：
答对了
答错了
已知f(x)=
, x∈(-2，2)
1、
判断f(x)的奇偶性并说明理由;
2、
求证:函数f(x)在(-2，2)上是增函数;
3、
若不等式f(x)<(a-2)t+5对任意 x∈(-2，2)和a∈[-3，0]都恒成立，求t的取值范围。
我要多选
作答：
答对了
答错了
已知定义域为R的函数f(x)=
1、
判断并证明该函数在区间[0，
)上的单调性;
2、
若对任意的t∈[3，+
)，不等式 f(2t²+t+4) +f(-t²-kt)>0恒成立，求实数k 的取值范围;
3、
若关于x的方程
有且仅有一个实数解，求实数t的取值范围
我要多选
作答：
答对了
答错了
已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点，则( )
A.
a²-b²≤4
B.
a²+
≥4
C.
若不等式x2+ax-b<0的解集为(X1，X2)，则 X1X2>0
D.
若不等式x2+ax+b<c的解集为x1，x2 且∣x1-x2∣=4，则c=4
我要多选
作答：
答对了
答错了
已知正实数x，y满足5x2+4xy-y2=1，则 12x2+8xy-y2的最小值为____.
我要多选
作答：
答对了
答错了
设f(x)是R上的减函数，且对任意实数x, y，都有f(x+y)=f(x)+f(y);函数g(x) =x2+ax+b(a,b∈R)
1、
判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论;
2、
若a=-1，b=5，且____.
(①存在t∈[-3,2];②对任意t∈[-3，2])，
不等式f(g(t)-1)+f(3t+m)>0成立，求实数m的取值范围;
请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解
我要多选
作答：
答对了
答错了
设函数y=ax2+x-b(a∈R，b∈R)
1、
若
，且集合
中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；
2、
求不等式y<(2a+2)x-b-2的解集；
3、
当a>0，b>1时，记不等式y>0的解集为P，集合
. 若对于任意正数t，P
Q≠
，求
的最大值。
我要多选
作答：
答对了
答错了
关于函数对称性的问题，有如下事实:
①证明函数图象的对称性就是证明图象上点的 对称性，例如，证明函数图象关于y轴对称， 就是证明图象上的任一点关于y轴的对称点也 在图象上
②点的坐标能满足函数关系式就说明点在函数 图象上，
③偶函数图象关于y轴对称这个结论可以推 广，例如，函数图象关于直线x=1对称的充要 条件是函数y=f(x+1)是偶函数 请根据上述信息完成以下问题：
1、
从偶函数定义出发，证明函数y=f(x) 是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
2、
求函数g(x)=x4+4x3+6x2+4x的对称轴;
3、
已知函数y=h(x+2)为偶函数，且 y=h(x)在(2，+oo)上单调递减，若函数 h(x)图象上两点A(m，
)，B(1-2m, 
)满足
>
，求实数m的取值范围
我要多选
作答：
答对了
答错了
设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0)
1、
若f(1)=4，且a，b均为正实数，求
的最小值，并确定此实数a，b的值；
2、
若
满足
在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围
我要多选
作答：
答对了
答错了
对于函数y=g(x)，y=h(x)，如果存在实数 a，b使得函数f(x)=ag(x)+bh(x)，那 么我们称y=f(x)为函数y=g(x)，y=h(x) 的“HC函数”
1、
已知g(x)=x-3,h(x)=-2x+1，试判 断f(x)=5x-5能否为函数y=g(x)， y=h(x)的“HC函数”，若是，请求出a，b的值:若不是，说明理由
2、
已知g(x)=
,h(x)=
,f(x)为函数y=g(x)，y=h(x)的“HC函数“，且 a=1，b=2，解不等式f(x)>3;
3、
已知g(x)=x,h(x)=
，f(x)为函数 y=g(x)，y=h(x)的“HC函数“(其中a>0,b>0)，y=f(x)的定义域为+)，当且仅当x=2时，y=f(x)取得最小值4。若对任意正实数X1，X2，且 X1+X2=2，不等式f(
)+f(
)≥m恒成立，求实数m的最大值
我要多选
作答：
答对了
答错了
已知函数f(x)=
是定义在(-1，1)上的 函数，且f(1)=
1、
求函数f(x)的解析式；
2、
用定义证明：f(x)在(-1,1)上是增函数；
3、
解不等式f(t-1)+f(t)<0
我要多选
作答：
答对了
答错了
对于定义域为I的函数，如果存在区间[m, n]
l，同时满足下列条件:
①函数f(x)在区间[m，n]上是单调的;
②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是 [m,n]. 则称[m，n]是函数y=f(x)的一个“和谐区间”
1、
写出函数f(x)=
(x≥0)的一个“和谐区间” (不需要解答过程);
2、
证明:函数g(x)=4-
不存在“和谐区间”;
3、
已知:函数
(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值
我要多选
作答：
答对了
答错了
已知函数f(x)= 
，若f(x)在定义域上不是单调函数，则实数a的取值范围是____.
我要多选
作答：
答对了
答错了
对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足
，则称f(x)为“局部反比例 对称函数”
1、
已知一次函数f(x)=x+， 试判断f(x)是否为“局部反比例对称函数”？并说明理由;
2、
若f(x)=x2-2mx+m2-7是定义在区间[1,)上的“局部反比例对称函数”，求实数m的取值范围
我要多选
作答：
答对了
答错了
若不等式(1-a)x²-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}
1、
解不等式
;
2、
b为何值时，ax²+bx+3≥0的解集为R
我要多选
作答：
答对了
答错了
设函数
，其中a为常数且a∈(0,1)。新定义：若x0满
，但
，则称
为f(x)的次不动点
1、
当a=½时，分别求
和
的值；
2、
求函数f(x)在x∈(a，1]上的次不动点
我要多选
作答：
答对了
答错了
某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量x(件)之间近似满足关系：
（其中c为小于96的正整数)
(注:次品率P=次品数/总生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品) 已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损
元，故厂方希望定出合适的日产量
1、
试将生产这种仪器每天的盈利T(元)表示为日产量x(件的函数);
2、
当日产量为多少时，可获得最大利润?
我要多选
作答：
答对了
答错了
已知函数f(x)=x2+bx+c，不等式f(x)<0 的解集是(0，3)
1、
求函数f(x)的解析式；
2、
若满足不等式组 
的整数解且只有一个，求正实数t的取值范围
我要多选
作答：
答对了
答错了
已知f(x)是定义在R上的单调递减函数，对任意实数m，n都有f(m+n)=f(m) +f(n)，函数g(x)=2(x-x2)，定义在R上的单调递增函数h(x)的图象经过点A(0，0)和点B(2，2)
1、
判断函数f(x)的奇偶性并证明;
2、
若3t∈[-1，2]，使得 f (g(t)-1)+f(8t+m)<0(m为常实数) 成立，求m的取值范围;
3、
设f(1)=-1，F1(x)=f(x)-x, F2(x)=g(x)，F3(x)=h(x)-h(2- x)，bi= i/100 (i=0，1，2,...,100)，若Mk=|Fk(b1)-Fk(bo)|+|Fk(b2)- Fk(b1)|+...+Fk (b100)-Fk(b99)| (k=1，2，3)，比较M1，M2，M3的大小并 说明理由
我要多选
作答：
答对了
答错了
对于定义域为D的函数y=f(x)，若有常数M 使得对任意的∈D，存在唯一的∈D满足等式
，则称M为函数y=f(x)的“均值”
1、
判断1是否为函数f(x) =2x+1(-1
x1)的“均值”，请说明理由;
2、
若函数f(x)=ax2-2x(1<x<2，a为常数)存在“均值”，求实数a的取值范围；
3、
若函数f(x)是单调函数，且其值域为区间I，试探究函数f(x)的“均值”情况(是否存在、个数、大小等)与区间I之间的关系，写出你的结论(不必证明)。
我要多选
作答：
答对了
答错了
设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，AB=x，求△ADP的最大面积及相应x的值
我要多选
作答：
答对了
答错了
若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数，而y=
在区间I上是减函数，则称函数y=f(x)在区间I上是“弱增函数”
1、
若函数h(x)=x²+(m-)x+b(m、b是常数)在区间(0，1]上是“弱增函数”，求m、 b应满足的条件;
2、
已知f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+k|x-4|(k 是常数且k≠0)，若存在区间I使得y=f(x)在区间上是“弱增函数”，求k的取值范围，
我要多选
作答：
答对了
答错了
若不等式
成立的一个充分非必要条件是
，则实数m的取值范围是____.
我要多选
作答：
答对了
答错了
假设某人从事某项投资，他第一次投入a元， 得到的利润是b元，收益率是
1、
若第二次他又投入x元，得到的利润是cx元，求此人两次投资的总收益率;
2、
在第一次投资的基础上，从第二次起， 此人每次都固定投资x元，每次得到的利润也都是x元，那么他每次投资后的总收益率是增加了还是减少了?请从数学角度解释你的判断.
我要多选
作答：
答对了
答错了
已知函数
，
1、
求不等式<0的解集；
<0的解集；2、
若对一切x>2，均有
成立，求实数m的取值范围
我要多选
作答：
答对了
答错了
已知集合X={X1,X2,...，
}是集合S={2001, 2002，2003,，2016，2017}的一个含有8个元素的子集
1、
当X={2001, 2002，2005，2007, 2011，2013，2016，2017}时，设
,
∈X(1i，j
)，
(i)写出方程
-
=k的解(Xj，Xj);
(i)若方程
-
=k(k>0)至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；
2、
证明:对任意一个X，存在正整数k，使得方程
-
=k(1≤i，j≤8)至少有三组不同的解
我要多选
作答：
答对了
答错了
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贡献者：
逸轩
